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domingo, 24 de mayo de 2009

Capítulo II: Eratóstenes. Medida del radio de la Tierra

INTRODUCCIÓN

En este capítulo del libro "De Arquímedes a Einstein", hemos aprendido sobre la vida de Eratóstenes y hemos visto cómo realizó su mayor experimento: la medida del radio de la Tierra sin utilizar aparatos electrónicos (ya que no existían) sino utilizando la observación y el cálculo matemático. En esta entrada vamos a realizar nosotros mismos el experimento usando las medidas realizadas el día 26 de Marzo por exactamente 602 colegios de España y otros países cercanos (entre ellos nosotros). Como se observará a lo largo de esta entrada, no hemos utilizado ningún aparato muy complejo tal como hizo Eratóstenes en la antigüedad.


PROCEDIMIENTOS PRIMARIOS

Ahora, vamos a explicar cómo se tomaron las medidas que ahora están registrados en la página web del Año Internacional de la Astronomía. En caso de querer verlas se debe pinchar a este enlace.

Para empezar, se debía buscar un sitio en el que durante el tiempo que durase la toma de datos no se tapase el Sol. El momento en que debía realizarse era alrededor de las 13:00 ya que ese es el momento en que el Sol está en el punto más alto y produce menos sombra. Antes de esa hora se debía colocar un papel continuo orientado hacia el norte para que la sombra que íbamos a medir no se saliera del papel. Encima del papel se colocaba un "nomon" (en nuestro caso un recogedor) y se aseguraba para que no se moviera (en nuestro caso pintamos los límites para que en caso de que se moviera se pudiera recolocar en su sitio). Después, a partir de las 12:00 comenzamos a dibujar en el papel el punto donde estaba el extremo de la sombra del recogedor cada diez minutos. Cuando ya hubimos tomado todas las medidas hasta las 14:00, se debía tomar la media de todas las medidas y después calcular (con la medida del palo del recogedor y la sombra) el ángulo que formaban los rayos del sol y el palo. Esta medida la realizaron nuestros profesores con nuestros trabajos ya que no hubo tiempo ni ocasión para realizarlo.



ELECCIÓN DEL SEGUNDO ÁNGULO

Como para la medición del radio de la Tierra necesitamos la medida de otro colegio que esté en el mismo meridiano pero muy alejado hacia el norte o hacia el sur para que las medidas sean más exactas, hemos tenido que usar GoogleMaps para localizarlo y calcular la distancia entre nuestro colegio y éste.

El colegio seleccionado ha sido el IES Peña del Águila, el cual está situado en Jaén. Lo hemos elegido porque Jaén está lo suficientemente alejado de Madrid y éste es, entre todos los colegios de Jaén que han participado, el que está más cercano al meridiano en el que nuestro colegio está.

Después de utilizar la herramienta de medición de distancia de GoogleMaps, hemos calculado que los dos colegios están separados entre sí por 303,861km. En la tabla de datos de la página del Año Internacional de la Astronomía hemos visto que el ángulo que calcularon los alumnos de ese colegio era 55º. Por tanto, ya tenemos todos los datos necesarios para calcular el radio de la Tierra:
  • Colegio Base → 51,1º
  • IES Peña del Águila → 55º
  • Distancia entre ambos colegios → 303,861km

CÁLCULO FINAL

Tal y como se puede observar en la imagen, el ángulo que se forma al cortar la recta que forman los rayos a la recta que forma el segundo nomon es igual que el segundo ángulo. Por tanto, se forma un triángulo en el que un ángulo es el del primer nomon, el segundo ángulo es igual a 180º menos el ángulo del segundo nomon y el tercero es el ángulo que forman las rectas de los nómones al cortarse. Por tanto:

a3 = 180º-a1-(180º-a2) = 180º-a1-180º+a2 = a2-a1

En nuestro caso, el ángulo que forman los dos nómones es igual a 55º-51,1º = 3,9º.

El siguiente paso es calcular cuantas veces está contenido nuestro ángulo interior en una circunferencia completa:

360º/3,9º = 92,307

El número obtenido es el número de veces que la distancia entre los dos colegios cabe en la circunferencia de la Tierra, es decir, que para calcular la circunferencia de la Tierra debemos multiplicar la distancia entre los dos colegios por el resultado anterior:

303,861*92,307 = 28048,497km
Para calcular el radio de la Tierra, como la circunferencia equivale a 2πr, para calcular el radio solo tenemos que dividir la medida de la circunferencia entre 2π.
28048,497km/2π = 4464,057km
El radio de la Tierra, por tanto, mide 4464,057 kilómetros, pero esto es una cifra apróximada ya que las medidas no son exactas y los colegios no están en el mismo meridiano exactamente.

Si quieres saber más sobre Eratóstenes o quieres ver más detalladamente el cálculo del radio de la Tierra pincha en los enlaces:


Cálculo del radio de la Tierra 1/2